Nesta publicación, consideraremos un dos teoremas clásicos da xeometría afín: o teorema de Ceva, que recibiu tal nome en homenaxe ao enxeñeiro italiano Giovanni Ceva. Tamén analizaremos un exemplo de resolución do problema para consolidar o material presentado.
Enunciado do teorema
Triángulo dado ABC, no que cada vértice está conectado a un punto do lado oposto.
Así, obtemos tres segmentos (AA', BB' и CC'), que se chaman ceviáns.
Estes segmentos crúzanse nun punto se e só se cumpre a seguinte igualdade:
|E'| |NON'| |CB'| = |BC'| |MAYÚS'| |AB'|
O teorema tamén se pode presentar desta forma (determínase en que proporción os puntos dividen os lados):
Teorema trigonométrico de Ceva
Nota: todas as esquinas están orientadas.
Exemplo dun problema
Triángulo dado ABC con puntos PARA', B' и VS ' nos lados BC, AC и AB, respectivamente. Os vértices do triángulo están conectados cos puntos dados, e os segmentos formados pasan por un punto. Ao mesmo tempo, os puntos PARA' и B' tomadas nos puntos medios dos lados opostos correspondentes. Descubra en que proporción o punto VS ' divide o lado AB.
solución
Debuxemos un debuxo segundo as condicións do problema. Para a nosa comodidade, adoptamos a seguinte notación:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Só queda compoñer a razón dos segmentos segundo o teorema de Ceva e substituír nel a notación aceptada:
Despois de reducir as fraccións, obtemos:
Por iso, AC' = C'B, é dicir, punto VS ' divide o lado AB á metade.
Polo tanto, no noso triángulo, os segmentos AA', BB' и CC' son medianas. Resolto o problema, demostramos que se cruzan nun punto (válido para calquera triángulo).
Nota: usando o teorema de Ceva, pódese demostrar que nun triángulo nun punto, as bisectriz ou as alturas tamén se cruzan.