Transformacións identitarias das expresións

Nesta publicación, consideraremos os principais tipos de transformacións idénticas de expresións alxébricas, acompañándoas de fórmulas e exemplos para demostrar a súa aplicación na práctica. A finalidade destas transformacións é substituír a expresión orixinal por outra idénticamente igual.

Reordenación de termos e factores

En calquera suma, pode reorganizar os termos.

a + b = b + a

En calquera produto, pode reorganizar os factores.

a ⋅ b = b ⋅ a

exemplos:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128 ⋅ 32 = 32 ⋅ 128

Termos de agrupación (multiplicadores)

Se hai máis de 2 termos na suma, pódense agrupar entre parénteses. Se é necesario, primeiro podes trocalos.

a + b + c + d = (a + c) + (b + d)

No produto, tamén podes agrupar os factores.

a ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

exemplos:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6 ⋅ 8 ⋅ 11 ⋅ 4 = (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Suma, resta, multiplicación ou división por un mesmo número

Se o mesmo número se suma ou resta a ambas partes da identidade, entón segue sendo verdadeiro.

If a + b = c + dlogo (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Así mesmo, non se vulnerará a igualdade se as dúas partes se multiplican ou se dividen polo mesmo número.

If a + b = c + dlogo (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

exemplos:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7 ⋅ 8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Substituír unha diferenza por unha suma (a miúdo un produto)

Calquera diferenza pódese representar como unha suma de termos.

a – b = a + (-b)

O mesmo truco pódese aplicar á división, é dicir, substituír frecuente por produto.

a : b = a ⋅ b^-1

exemplos:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42 ⋅ 3^-1

Realización de operacións aritméticas

Pódese simplificar unha expresión matemática (ás veces de forma significativa) realizando operacións aritméticas (suma, resta, multiplicación e división), tendo en conta as normas xeralmente aceptadas. orde de execución:

• primeiro elevamos a unha potencia, extraemos as raíces, calculamos logaritmos, funcións trigonométricas e outras;
• despois realizamos as accións entre corchetes;
• por último: de esquerda a dereita, realice as accións restantes. A multiplicación e a división teñen prioridade sobre a suma e a resta. Isto tamén se aplica ás expresións entre parénteses.

exemplos:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20 : 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 – 9 + 16 = 132

Expansión de soporte

As parénteses nunha expresión aritmética pódense eliminar. Esta acción realízase de acordo con certas, dependendo de que signos ("máis", "menos", "multiplicar" ou "dividir") están antes ou despois dos corchetes.

exemplos:

• 117 + (90 – 74 – 38) = 117 + 90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22 ⋅ 8 + 22 ⋅ 14
• 18 : (4 – 6) = 18:4-18:6

Colocación do factor común

Se todos os termos da expresión teñen un factor común, pódese quitar entre corchetes, no que permanecerán os termos divididos por este factor. Esta técnica tamén se aplica ás variables literais.

exemplos:

• 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7 ⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas

Tamén pode usar para realizar transformacións idénticas de expresións alxébricas.

exemplos:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627