Contidos
Nesta publicación, consideraremos a definición do rango dunha matriz, así como os métodos polos que se pode atopar. Tamén analizaremos exemplos para demostrar a aplicación da teoría na práctica.
Determinación do rango dunha matriz
Rango da matriz é o rango do seu sistema de filas ou columnas. Calquera matriz ten os seus rangos de filas e columnas, que son iguais entre si.
Clasificación do sistema de filas é o número máximo de filas linealmente independentes. O rango do sistema de columnas determínase dun xeito similar.
Notas:
- O rango da matriz cero (indicado polo símbolo "θ“) de calquera tamaño é cero.
- O rango de calquera vector fila ou vector columna distinto de cero é igual a un.
- Se unha matriz de calquera tamaño contén polo menos un elemento que non é igual a cero, entón o seu rango non é menor que un.
- O rango dunha matriz non é maior que a súa dimensión mínima.
- As transformacións elementais realizadas nunha matriz non cambian o seu rango.
Atopar o rango dunha matriz
Método de flecos menores
O rango dunha matriz é igual á orde máxima dunha matriz distinta de cero.
O algoritmo é o seguinte: atopar os menores desde as ordes máis baixas ata as máis altas. Se menor na orde non é igual a cero e todas as seguintes (n+1) son iguais a 0, polo que o rango da matriz é n.
Exemplo
Para que quede máis claro, poñamos un exemplo práctico e busquemos o rango da matriz A a continuación, utilizando o método de lindeiro con menores.
solución
Estamos ante unha matriz 4 × 4, polo tanto, o seu rango non pode ser superior a 4. Ademais, hai elementos distintos de cero na matriz, o que significa que o seu rango non é inferior a un. Entón, imos comezar:
1. Comeza a comprobar menores de segunda orde. Para comezar, tomamos dúas filas da primeira e da segunda columna.
Menor é igual a cero.
Polo tanto, pasamos ao seguinte menor (queda a primeira columna, e en lugar da segunda collemos a terceira).
O menor é 54≠0, polo que o rango da matriz é polo menos dous.
Nota: Se este menor resultase igual a cero, comprobariamos aínda máis as seguintes combinacións:
Se é necesario, a enumeración pódese continuar do mesmo xeito con cadeas:
- 1 e 3;
- 1 e 4;
- 2 e 3;
- 2 e 4;
- 3 e 4.
Se todos os menores de segunda orde fosen iguais a cero, entón o rango da matriz sería igual a un.
2. Conseguimos case de inmediato atopar un menor que nos conveña. Entón, imos pasar a menores de terceira orde.
Ao menor atopado de segunda orde, que deu un resultado distinto de cero, engadimos unha fila e unha das columnas resaltadas en verde (partimos da segunda).
O menor resultou ser cero.
Polo tanto, cambiamos a segunda columna á cuarta. E no segundo intento, conseguimos atopar un menor que non sexa igual a cero, o que significa que o rango da matriz non pode ser inferior a 3.
Nota: se o resultado volvese a ser cero, en lugar da segunda fila, levaríamos a cuarta máis adiante e continuaríamos a procura dun menor “bo”.
3. Agora queda por determinar menores de cuarta orde baseándose no que se atopou anteriormente. Neste caso, é aquel que coincide co determinante da matriz.
Menor é igual a 144≠0. Isto significa que o rango da matriz A é igual a 4.
Redución dunha matriz a unha forma escalonada
O rango dunha matriz de pasos é igual ao número das súas filas distintas de cero. É dicir, todo o que temos que facer é levar a matriz á forma adecuada, por exemplo, usando , que, como mencionamos anteriormente, non cambia o seu rango.
Exemplo
Atopar o rango dunha matriz B abaixo. Non tomamos un exemplo demasiado complexo, porque o noso obxectivo principal é simplemente demostrar a aplicación do método na práctica.
solución
1. Primeiro, resta o dobrado primeiro da segunda liña.
2. Agora resta a primeira fila da terceira fila, multiplicada por catro.
Así, obtivemos unha matriz de pasos na que o número de filas distintas de cero é igual a dúas, polo que o seu rango tamén é igual a 2.