Extraer a raíz dun número complexo

Nesta publicación, imos ver como se pode sacar a raíz dun número complexo, e tamén como isto pode axudar a resolver ecuacións de segundo grao cuxo discriminante é menor que cero.

Extraer a raíz dun número complexo

Raíz cadrada

Como sabemos, é imposible sacar a raíz dun número real negativo. Pero cando se trata de números complexos, esta acción pódese realizar. Imos descubrir.

Digamos que temos un número z = -9. Pois √-9 hai dúas raíces:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Comprobamos os resultados obtidos resolvendo a ecuación z² =-9, sen esquecer iso i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Así, demostramos que -3i и 3i son raíces √-9.

A raíz dun número negativo adoita escribirse así:

√-1 = ±i

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i etc.

Raíz á potencia de n

Supoñamos que se nos dan ecuacións da forma z = ⁿ√w… Posúe n raíces (z₀, De₁, De₂,…, z_n-1), que se pode calcular coa seguinte fórmula:

|w| é o módulo dun número complexo w;

φ - o seu argumento

k é un parámetro que toma os valores: k = {0, 1, 2,..., n-1}.

Ecuacións cuadráticas con raíces complexas

Extraer a raíz dun número negativo cambia a idea habitual de uXNUMXbuXNUMXb. Se o discriminante (D) é menor que cero, entón non pode haber raíces reais, pero poden representarse como números complexos.

Exemplo

Resolvemos a ecuación x² – 8x + 20 = 0.

solución

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, pero aínda podemos tomar a raíz do discriminante negativo:

√D = √-16 = ± 4i

Agora podemos calcular as raíces:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Polo tanto, a ecuación x² – 8x + 20 = 0 ten dúas raíces complexas conxugadas:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i