Elevar un número complexo a unha potencia natural

Nesta publicación, consideraremos como se pode elevar un número complexo a unha potencia (incluíndo a fórmula de De Moivre). O material teórico vai acompañado de exemplos para unha mellor comprensión.

Elevar un número complexo a unha potencia

En primeiro lugar, lembre que un número complexo ten a forma xeral: z = a + bi (forma alxébrica).

Agora podemos proceder directamente á solución do problema.

Número cadrado

Podemos representar o grao como un produto dos mesmos factores e despois atopar o seu produto (mentres o recordamos i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Exemplo 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Tamén podes usar, a saber, o cadrado da suma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Nota: Do mesmo xeito, se é necesario, pódense obter fórmulas para o cadrado da diferenza, o cubo da suma/diferenza, etc.

Enésimo grao

Aumentar un número complexo z en especie n moito máis doado se se representa en forma trigonométrica.

Lembre que, en xeral, a notación dun número é así: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sen φ).

Para a exponenciación, pode usar Fórmula de De Moivre (chamado así polo matemático inglés Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sen(nφ))

A fórmula obtense escribindo en forma trigonométrica (mulplícanse os módulos e engádense os argumentos).

2 exemplo

Aumentar un número complexo z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sen 35°) ata o oitavo grao.

solución

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sen(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sen 280°).