Propiedades da altura dun triángulo rectángulo

Nesta publicación, consideraremos as principais propiedades da altura nun triángulo rectángulo, e tamén analizaremos exemplos de resolución de problemas sobre este tema.

Nota: chámase o triángulo rectangular, se un dos seus ángulos é recto (igual a 90°) e os outros dous son agudos (<90°).

Propiedades da altura nun triángulo rectángulo

Propiedade 1

Un triángulo rectángulo ten dúas alturas (h₁ и h₂) coinciden coas súas patas.

terceira altura (h₃) descende á hipotenusa desde un ángulo recto.

Propiedade 2

O ortocentro (punto de intersección de alturas) dun triángulo rectángulo está no vértice do ángulo recto.

Propiedade 3

A altura dun triángulo rectángulo debuxado á hipotenusa divídeo en dous triángulos rectángulos similares, que tamén son similares ao orixinal.

1. △ABD ~△ABC en dous ángulos iguais: ∠ADB = ∠LAC (liñas rectas), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~△ABC en dous ángulos iguais: ∠ADC = ∠LAC (liñas rectas), ∠DCA = ∠ACB.

3. △ABD ~△ADC en dous ángulos iguais: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠DCA.

Proba: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Ao mesmo tempo ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Polo tanto, ∠BAD = ∠DCA.

Pódese demostrar dun xeito semellante que ∠ABD = ∠DAC.

Propiedade 4

Nun triángulo rectángulo calcúlase a altura da hipotenusa do seguinte xeito:

1. A través de segmentos na hipotenusa, formado como resultado da súa división pola base da altura:

2. A través das lonxitudes dos lados do triángulo:

Esta fórmula deriva de Propiedades do seno dun ángulo agudo nun triángulo rectángulo (o seno do ángulo é igual á relación do cateto oposto á hipotenusa):

Nota: a un triángulo rectángulo, tamén se aplican as propiedades xerais de altura presentadas na nosa publicación.

Exemplo dun problema

Tarefa 1

A hipotenusa dun triángulo rectángulo divídese pola altura que se lle debuxa en segmentos de 5 e 13 cm. Atopa a lonxitude desta altura.

solución

Usemos a primeira fórmula presentada en Propiedade 4:

Tarefa 2

Os catetos dun triángulo rectángulo miden 9 e 12 cm. Acha a lonxitude da altitude indicada para a hipotenusa.

solución

Primeiro, imos atopar a lonxitude da hipotenusa ao longo (sexan os catetos do triángulo "a" и "B", e a hipotenusa é "vs"):

c² = A² + b² = 9² + 12² = 225.

Consecuentemente, o с = 15 cm.

Agora podemos aplicar a segunda fórmula de Propiedades 4comentado anteriormente: