Nesta publicación, consideraremos un dos principais teoremas da xeometría euclidiana: o teorema de Stewart, que recibiu tal nome en homenaxe ao matemático inglés M. Stewart, quen o demostrou. Tamén analizaremos polo miúdo un exemplo de resolución do problema para consolidar o material presentado.
Enunciado do teorema
Triángulo Dan ABC. Ao seu carón AC punto tomado D, que está conectado á parte superior B. Aceptamos a seguinte notación:
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = e
Para este triángulo, a igualdade é verdadeira:
Aplicación do teorema
A partir do teorema de Stewart, pódense derivar fórmulas para atopar as medianas e mediatrices dun triángulo:
1. A lonxitude da mediatriz
Deixar lc é a mediatriz debuxada ao lado c, que se divide en segmentos x и y. Tomemos os outros dous lados do triángulo como a и b… Neste caso:
2. Lonxitude media
Deixar mc é a mediana virada cara abaixo c. Denotamos os outros dous lados do triángulo como a и b… Entón:
Exemplo dun problema
Triángulo dado ABC. No lado AC igual a 9 cm, punto tomado D, que divide o lado para que AD o dobre de tempo DC. A lonxitude do segmento que une o vértice B e punto D, é de 5 cm. Neste caso, o triángulo formado ABD é isósceles. Busca os lados restantes do triángulo ABC.
solución
Imos representar as condicións do problema en forma de debuxo.
AC = AD + DC = 9 cm. AD máis DC dúas veces, é dicir AD = 2DC.
Consecuentemente, o 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Entón, DC = 3 cm, AD = 6 cm.
Porque triángulo ABD – isósceles, e lateral AD é de 6 cm, polo que son iguais AB и BDIe AB = 5 cm.
Só queda por atopar BC, derivando a fórmula do teorema de Stewart:
Substituímos os valores coñecidos nesta expresión:
Deste xeito, BC = √52 ≈ 7,21 cm.