Cal é o límite dunha función

Nesta publicación, consideraremos un dos principais conceptos da análise matemática: o límite dunha función: a súa definición, así como varias solucións con exemplos prácticos.

Determinación do límite dunha función

Límite de función – o valor ao que tende o valor desta función cando o seu argumento tende ao punto límite.

Rexistro límite:

• o límite está indicado pola icona cal;
• debaixo engádese a que valor tende o argumento (variable) da función. Normalmente isto x, pero non necesariamente, por exemplo:x→ 1″;
• entón a propia función engádese á dereita, por exemplo:

  

Así, o rexistro final do límite é así (no noso caso):

Le como "límite da función xa que x tende á unidade".

x→ 1 - isto significa que "x" adopta constantemente valores que se aproximan infinitamente á unidade, pero que nunca coincidirán con ela (non se alcanzará).

Límites de decisión

Cun número determinado

Resolvemos o límite anterior. Para iso, basta con substituír a unidade na función (porque x→1):

Así, para resolver o límite, primeiro tentamos substituír simplemente o número dado na función debaixo del (se x tende a un número específico).

Con infinito

Neste caso, o argumento da función aumenta infinitamente, é dicir, "X" tende ao infinito (∞). Por exemplo:

If x→∞, entón a función dada tende a menos infinito (-∞), porque:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 etc.

Outro exemplo máis complexo

Para resolver este límite, tamén, simplemente aumenta os valores x e mira o "comportamento" da función neste caso.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Así, para "X"tendendo ao infinito, a función x² +3x –6 crece indefinidamente.

Con incerteza (x tende ao infinito)

Neste caso, estamos a falar de límites, cando a función é unha fracción, cuxo numerador e denominador son polinomios. onde "X" tende ao infinito.

Exemplo: imos calcular o límite a continuación.

solución

As expresións tanto do numerador como do denominador tenden ao infinito. Pódese supoñer que neste caso a solución será a seguinte:

Non obstante, non todo é tan sinxelo. Para resolver o límite temos que facer o seguinte:

1. Buscar x á potencia máis alta para o numerador (no noso caso, son dous).

2. Do mesmo xeito, definimos x á potencia máis alta para o denominador (tamén é igual a dous).

3. Agora dividimos tanto o numerador como o denominador entre x en grao superior. No noso caso, nos dous casos, no segundo, pero se fosen diferentes, deberíamos tomar o grao máis alto.

4. No resultado resultante, todas as fraccións tenden a cero, polo que a resposta é 1/2.

Con incerteza (x tende a un número específico)

Tanto o numerador como o denominador son polinomios, non obstante, "X" tende a un número específico, non ao infinito.

Neste caso, pechamos condicionalmente os ollos ao feito de que o denominador é cero.

Exemplo: Imos atopar o límite da función a continuación.

solución

1. En primeiro lugar, imos substituír o número 1 na función, a cal "X". Obtemos a incerteza da forma que estamos considerando.

2. A continuación, descompoñemos o numerador e o denominador en factores. Para iso, pode utilizar as fórmulas de multiplicación abreviadas, se son adecuadas, ou.

No noso caso, as raíces da expresión no numerador (2x² – 5x + 3 = 0) son os números 1 e 1,5. Polo tanto, pódese representar como: 2(x-1)(x-1,5).

denominador (x–1) é inicialmente sinxelo.

3. Obtemos un límite modificado:

4. A fracción pódese reducir en (x–1):

5. Só queda substituír o número 1 na expresión obtida baixo o límite: