O pequeno teorema de Fermat

Nesta publicación, consideraremos un dos principais teoremas da teoría dos enteiros:  O pequeno teorema de Fermatnomeado así polo matemático francés Pierre de Fermat. Tamén analizaremos un exemplo de resolución do problema para consolidar o material presentado.

Enunciado do teorema

1. Inicial

If p é un número primo a é un número enteiro que non é divisible por plogo a^páx-1 - 1 dividida pola p.

Escríbese formalmente así: a^páx-1 ≡ 1 (en contra p).

Nota: Un número primo é un número natural que só é divisible por XNUMX e por si mesmo sen resto.

Por exemplo:

• a = 2
• p = 5
• a^páx-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• número 15 dividida pola 5 sen resto.

2. Alternativa

If p é un número primo, a calquera número enteiro, entón a^p comparable a a modulo p.

a^p ≡ a (en contra p)

Historia da busca de probas

Pierre de Fermat formulou o teorema en 1640, pero non o demostrou el mesmo. Máis tarde, isto foi feito por Gottfried Wilhelm Leibniz, un filósofo, lóxico, matemático, etc. Crese que xa tiña a proba en 1683, aínda que nunca foi publicada. Cabe destacar que Leibniz descubriu o teorema el mesmo, sen saber que xa fora formulado con anterioridade.

A primeira demostración do teorema foi publicada en 1736, e pertence ao suízo, alemán e matemático e mecánico, Leonhard Euler. O pequeno teorema de Fermat é un caso especial do teorema de Euler.

Exemplo dun problema

Busca o resto dun número 2¹² on 12.

solución

Imaxinemos un número 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 é un número primo, polo tanto, polo pequeno teorema de Fermat obtemos:

2¹¹ ≡ 2 (en contra 11).

Por iso, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (en contra 11).

Así o número 2¹² dividida pola 12 cun resto igual a 4.