Atopar a matriz inversa

Nesta publicación considerarase o que é unha matriz inversa e, ademais, mediante un exemplo práctico, analizaremos como se pode atopar mediante unha fórmula especial e un algoritmo para accións secuenciais.

Definición de matriz inversa

En primeiro lugar, lembremos que son os recíprocos en matemáticas. Digamos que temos o número 7. Entón o seu inverso será 7^-1 or ¹/₇. Se multiplicas estes números, o resultado será un, é dicir, 7 7^-1 = 1.

Case o mesmo coas matrices. Reverter chámase tal matriz, multiplicando a cal pola orixinal, obtemos a identidade. Ela está etiquetada como A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritmo para atopar a matriz inversa

Para atopar a matriz inversa, cómpre ser capaz de calcular matrices, así como ter as habilidades para realizar determinadas accións con elas.

Nótese de inmediato que a inversa só se pode atopar para unha matriz cadrada, e isto faise usando a seguinte fórmula:

|A| - determinante da matriz;

A^T_M é a matriz transposta de sumas alxébricas.

Nota: se o determinante é cero, a matriz inversa non existe.

Exemplo

Imos buscar a matriz A a continuación está o reverso.

solución

1. Primeiro, imos atopar o determinante da matriz dada.

2. Agora fagamos unha matriz que teña as mesmas dimensións que a orixinal:

Necesitamos descubrir que números deben substituír os asteriscos. Imos comezar co elemento superior esquerdo da matriz. O menor atópase tachando a fila e columna na que se sitúa, é dicir, en ambos os casos no número un.

O número que queda despois do tachado é o menor requirido, é dicir M₁₁ = 8.

Do mesmo xeito, atopamos os menores para os elementos restantes da matriz e obtemos o seguinte resultado.

3. Definimos a matriz de sumas alxébricas. Como calculalos para cada elemento, consideramos por separado.

Por exemplo, para un elemento a₁₁ a suma alxébrica considérase como segue:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Realiza a transposición da matriz resultante de sumas alxébricas (é dicir, troca as columnas e as filas).

5. Só queda usar a fórmula anterior para atopar a matriz inversa.

Podemos deixar a resposta desta forma, sen dividir os elementos da matriz polo número 11, xa que neste caso obtemos números fraccionarios feos.

Comprobando o resultado

Para asegurarnos de que obtivemos a inversa da matriz orixinal, podemos atopar o seu produto, que debería ser igual á matriz de identidade.

Como resultado, obtivemos a matriz de identidade, o que significa que fixemos todo ben.