Sistema de ecuacións alxébricas lineais

Nesta publicación, teremos en conta a definición dun sistema de ecuacións alxébricas lineais (SLAE), como se ve, que tipos hai e tamén como presentalo en forma matricial, incluída unha estendida.

Definición dun sistema de ecuacións lineais

Sistema de ecuacións alxébricas lineais (ou "SLAU" para abreviar) é un sistema que xeralmente se ve así:

• m é o número de ecuacións;
• n é o número de variables.
• x₁,x₂,…, x_n - descoñecido;
• a₁₁,₁₂…, a_mn - coeficientes para incógnitas;
• b₁, b₂,…, b_m - membros gratuítos.

Índices de coeficientes (a_ij) están formados da seguinte forma:

• i é o número da ecuación lineal;
• j é o número da variable á que se refire o coeficiente.

Solución SLAU - tales números c₁, C₂,…, c_n , en cuxo escenario no canto de x₁,x₂,…, x_n, todas as ecuacións do sistema converteranse en identidades.

Tipos de SLAU

1. Homoxénea – todos os membros libres do sistema son iguais a cero (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heteroxéneo - Se non se cumpre a condición anterior.
3. Praza – o número de ecuacións é igual ao número de incógnitas, é dicir m = n.

   

4. Indeterminado – O número de incógnitas é maior que o número de ecuacións.

   

5. anulado Hai máis ecuacións que variables.

   

Segundo o número de solucións, o SLAE pode ser:

1. Articulación ten polo menos unha solución. Ademais, se é único, o sistema chámase definido, se hai varias solucións chámase indefinido.

   

   O SLAE anterior é conxunto, porque hai polo menos unha solución: x = 2, y = 3.

2. incompatible O sistema non ten solucións.

   

   Os lados dereito das ecuacións son iguais, pero os da esquerda non. Así, non hai solucións.

Notación matricial do sistema

SLAE pódese representar en forma matricial:

AX = B

• A é a matriz formada polos coeficientes das incógnitas:

  

• X - Columna de variables:

  

• B - Columna de membros gratuítos:

  

Exemplo

Representamos o sistema de ecuacións a continuación en forma matricial:

Usando as formas anteriores, compoñemos a matriz principal con coeficientes, columnas con membros descoñecidos e libres.

Rexistro completo do sistema de ecuacións dado en forma matricial:

Matriz SLAE estendida

Se á matriz do sistema A engade a columna de membros gratuítos á dereita B, separando os datos cunha barra vertical, obtense unha matriz estendida de SLAE.

Para o exemplo anterior, ten o seguinte aspecto:

– designación da matriz estendida.