Produto cruzado de vectores

Nesta publicación, analizaremos como atopar o produto cruzado de dous vectores, dar unha interpretación xeométrica, unha fórmula alxébrica e as propiedades desta acción, e tamén analizaremos un exemplo de resolución do problema.

Interpretación xeométrica

Produto vectorial de dous vectores distintos de cero a и b é un vector c, que se denota como [a, b] or a x b.

Lonxitude do vector c é igual á área do paralelogramo construído usando os vectores a и b.

Neste caso, c perpendiculares ao plano no que se atopan a и b, e está situado de xeito que a menor rotación de a к b realizouse en sentido antihorario (desde o punto de vista do extremo do vector).

Fórmula de produtos cruzados

Produto de vectores a = {a_x; a_y,_z} i b = {b_x; b_y, b_z} calcúlase mediante unha das seguintes fórmulas:

Propiedades cruzadas do produto

1. O produto cruzado de dous vectores distintos de cero é igual a cero se e só se estes vectores son colineais.

[a, b] = 0Se a || b.

2. O módulo do produto cruzado de dous vectores é igual á área do paralelogramo formado por estes vectores.

S_paralelo = |a x b|

3. A área dun triángulo formado por dous vectores é igual á metade do seu produto vectorial.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Un vector que é produto cruzado doutros dous vectores é perpendicular a eles.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

un. (a + b) x c = a x c + b x c

Exemplo dun problema

Calcula o produto cruzado a = {2; 4; 5} и b = {9; -dous; 3}.

Decisión:

Resposta: a x b = {19; 43; -42}.