Filas lineais dependentes e independentes: definición, exemplos

Nesta publicación, consideraremos o que é unha combinación lineal de cadeas, cadeas linealmente dependentes e independentes. Tamén daremos exemplos para unha mellor comprensión do material teórico.

Definición dunha combinación lineal de cadeas

Combinación lineal (LK) termo s₁con₂,…, s_n matriz A chamada expresión da seguinte forma:

αs₁ + αs₂ + … + αs_n

Se todos os coeficientes α_i son iguais a cero, polo que LC é trivial. Noutras palabras, a combinación lineal trivial é igual á fila cero.

Por exemplo: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

En consecuencia, se polo menos un dos coeficientes α_i non é igual a cero, entón LC é non trivial.

Por exemplo: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Filas linealmente dependentes e independentes

O sistema de cordas é dependente linealmente (LZ) se hai unha combinación lineal non trivial deles, que é igual á liña cero.

De aí dedúcese que un LC non trivial pode nalgúns casos ser igual á cadea cero.

O sistema de cordas é linealmente independente (LNZ) se só o LC trivial é igual á cadea nula.

Notas:

• Nunha matriz cadrada, o sistema de filas é un LZ só se o determinante desta matriz é cero (o = 0).
• Nunha matriz cadrada, o sistema de filas é un LIS só se o determinante desta matriz non é igual a cero (o ≠ 0).

Exemplo dun problema

Imos descubrir se o sistema de cordas é {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} dependente linealmente.

Decisión:

1. Primeiro, imos facer un LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. Agora imos descubrir que valores deben tomar α₁ и α₂de xeito que a combinación lineal é igual á cadea nula.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. Fagamos un sistema de ecuacións:

4. Divide a primeira ecuación por tres, a segunda por catro:

5. A solución deste sistema é calquera α₁ и α₂, Con α₁ = -3a₂.

Por exemplo, se α₂ = 2logo α₁ =-6. Substituímos estes valores no sistema de ecuacións anterior e obtemos:

Resposta: así as liñas s₁ и s₂ dependente linealmente.